Inhalt
Insbesondere im Bereich der geometrischen Bildverarbeitung treten degenerierte parabolische Differentialgleichungen auf, für welche sowohl die klassische als auch die schwache Lösungstheorie versagt. Lösungen können dann nur noch als Grenzwerte der Lösungen von regularisierten Gleichungen dargestellt werden, wie z.B. bei der "Method of vanishing Viscosity". Das wohl bekannteste Beispiel für eine solche degenerierte parabolische Gleichung ist der "mittlere Krümmungsfluss". Die Abbildung zeigt die Anwendung des mittleren Krümmungsflusses auf ein verrauschtes Bild.
Einen Ausweg bietet der relativ junge Lösungsbegriff der Viskositätslösung. Er wurde zunächst für PDEs erster Ordnung von Crandall und Lions eingeführt. Mitlerweile ist die Theorie jedoch für elliptische und parabolische PDEs zweiter Ordnung verallgemeinert worden.
Das Besondere am Begriff der Viskositätslösung ist, dass Funktionen, die nur stetig sind, Lösung einer voll nichtlinearen (möglicherweise degenerierten) PDE zweiter Ordnung sein kann. Ableitungen haben dann keine klassische oder schwache Bedeutung mehr, sondern müssen durch verallgemeinerte Begriffe (die sogenannten Jets) ersetzt werden.
Das Seminar
Im Seminar soll die Theorie der Viskositätslösungen sukzessive aufgebaut werden. Als Leitfaden dient dabei der von den Begründern der Theorie Crandall, Ishii und Lions verfasste Artikel
User's guide to viscosity solutions of second order partial differential equations welcher im AMS Bulletin erschienen ist. Zusätzlich sollen die entsprechenden Original-Arbeiten das Verständnis unterstützen.
